作业

复习习题 1 - 5

习题 1

给定一下五个向量: A = (1, 2, 3); B = (2, -3, 5); C = (x, y, z); D = (cos t, sin t, t ²); E = (-2, 1, 0).
解以下各题:

• 求和: A + B + C.
• 计算 A•B.
• 计算 A×(B+C).
• 求 x, y, z 使得 C•A = 0 , C•B = 0.
• 求 A 和 B, B 和 D(结果为t的函数)之间夹角的余弦值.
• 求 E 在 B 上的投影.
• 求行列式使其列分别为 A, B, E 和 A, B, C.
• 设点 P 的坐标 x = 1, y = 2, z = 3, 则其球面坐标 ρ, θ 和 Φ 为多少?
• 以 A, B 和 E 为边的平行六面体的体积是多少?
• 求 D 在 xy 平面上的投影. 其长为多少?

习题 2

考虑通过以上 A, B 两点的直线.

• 给出直线的参数表达式.
• 求直线方向上的单位切向量.
• 求与向量垂直的两个方向.
• 考虑包含点 A, B 和 E 的平面:
  • 求平面的参数表达式(两个参数).
  • 求平面的一个法线.
  • 求平面方程.
    
    
• 定义向量的一种新的运算 V@W 对所有的 V 满足 V@V = 0 并设在所有讨论中 @ 均是线性的这样以便可以应用分配律.
  • 应用上述运算将(V + W)@(V + W)化简成V@W + W@V.

习题 3

求指定变量的导数:

• sin (2^x).
• (sin xy)e^x+y 固定 y , x 为变量.
• x² + y² - 3xy 固定 x ，y 为变量.
• (sin (y + s sin t))e^{-(x+s cos t)} s 为变量，其它均固定.
• 求 (sin y)e^-x 的梯度.
• 求函数在单位向量 (cos t, sin t) 方向上的方向导数.
• 求 sin (e^x) 在 x = 0 处的线性近似.
• 假设 dv/dt 与 r同向, 计算 (r×v) 以t为变量的导数，其中 v = dr/dt.
• 1/x 在何处不可导? tan x 在何处不可导? |x| 在何处不可导?
• 求 sin (e^x)反函数的导数(完全定义反函数需要确定值域，此处忽略).

习题 4

• 求函数 r = (x² + y²)^1/2 和 ρ = (x² + y² + z²)^1/2 的梯度.
• 求 1/ρ的梯度.
• 求 cos θ 和 θ的梯度.
• 求 (y, z, x) 的旋度.
• 求 ρ/ρ³ 的散度(ρ = (x, y, z)).
• 求其旋度.

习题 5

• 求 sin xy 在 x = 1, y = 2 (弧度)处的二次近似.
• 函数在何处有临界点 (此点二偏导均为0).
• 找出至少一个鞍点.
• 通过变换点积和叉积的位置和化简向量三重积计算(a×b)•(a×b)以得到只含有点积的表达式.
• 哪个函数在 x = 0 处有定义? (1-cos x)/x², x²/sinx, (sin x cos x)/x²?