实验 8 介绍 (PDF)

本次实验的对象为实验3，4中的二阶系统。通过将附加的弹簧与质量块连接在系统上，得到如图1，2的四阶系统。与实验3类似，将中轴与档圈相连，并将LVDT的中芯与音圈看作质量m1。弹簧导杆弹性系数为k1，并忽略质量。音圈作为执行机构，相当于阻尼器c1。附加质量块m2通过铝板与系统相连，可以看作是务质量的弹簧k2与一个小阻尼器c2。模型如图3所示。音圈在中轴m1上施加力Fi。LVDT将产生与位移x1成比例的电压v1。

图 1：四阶实验系统。包括：实验3中的二阶系统以及附加的弹簧、质量块

我们令 R2 = 470 kω，Ra = 1 kω，C = 0.1 μF。通过调整R1得到一个特定的增益。我们选 R1+R2 >> Ra，这样在RaC网络上的负载作用将被忽略。 电路中的运放采用普通型号的LM 741，绝大多数的运算放大器可以看作是高增益的积分器(传递函数： a(s) = G/s)。对于741，G大约是 6 x 106。 图1中的电路可以用图2中的方框图来表示：

 

图 2： 本实验系统图解

通过研究阶跃响应及计算时间常数，同学们可以将电路的实际响应与预测响应进行比较。（a）电路是一阶系统。在电路（b）中增加RC滤波器可以观察到欠阻尼的二阶系统响应。在加入滤波器后，就可将电路（b）的预测极点位置与实测的极点位置进行比较。 实际的频率响应也可以用函数发生器产生的正弦信号轻易得到。与实验6相同，输入、输出信号在幅值与相位上的差异可以用示波器清楚的观察到。若示波器可以自动测量幅值与相位（如下图屏幕所示），这就变得更简单了。

图 3： 正弦输入、输出信号，在特定频率下幅值与相位的改变 

将函数发生器与dSPACE界面断开，在某个可调的频率范围内，可以用来驱动系统。我们关心的是与复极点对相对应的两个共振频率，以及复零点的频率。在与第一对复极点相对应的频率时，两个质量块的移动没有相位差异，用肉眼就可以分辨出来。在与复零点相对应的频率时，质量2相对质量1会有90度相角的延迟。然而，在该频率下质量块2就像一个减震器使得质量块1无法移动。在与第二对复极点相对应的频率时，质量块2与质量块1沿着相反的方向运动。此时，系统模型的形状可以用闪光仪观察，如图4所示。

图 4： 闪光仪，用于观察系统模型的形状。

使用基于PC的测量系统，利用dSPACE界面来得到频率响应图。该测量系统能产生不同频率的正弦输入，并且通过LVDT测量系统的输出。我们可以利用MATLAB计算软件编程求出系统传递函数的幅值与相位。如图5，6中的测量实例：

图 5： 电压V1（由LVDT产生）对电压V（由函数发生器产生）的理论传递函数。以及理论值（蓝线）与实验值（红点）的波特图。

方程中的常数值如下：

K = 1400
ωn1 = 31 rad/s (4.93 Hz), ζ1 = 0.17
ωn2 = 67.4 rad/s (10.7 Hz), ζ2 = 0.042
ωz = 56.01 rad/s (8.91 Hz), ζz = 0.001

很明显，在实际系统与理论系统间存在着较大的差异。
这是因为音圈具有非线性元件的动力学特性。若为了补偿非线性在150rad/s(24 Hz)处增加一极点，
则如图6所示，差异将会大大减少。

图 6： 波特图，在图5的传递函数基础上增加150rad/s(24 Hz)的极点（蓝线），与实验值（红点）。